【応用数学】知っといてほしい用語と基本【微分方程式③】

本日も、りけいのりからお届けします。

今までは，微分方程式のイメージをつかむのが目的でした．

今回から，ようやく微分方程式の解法に入っていきます．

まずは，準備段階です．

紹介の前に知っておいてほしい語句や，解法に必要な数学の基本などを紹介します．

何度も繰り返しですが，ここでは，工学などへの応用を前提として，どうやって解くかに焦点を当てます．

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知っておいてほしい微分方程式の基本
微分方程式の解法って？
微分方程式の種類
微分方程式の例１：力学（質点の落下）
微分方程式の例２：力学（空気抵抗を受ける物体の落下）
おわりに
参考文献

知っておいてほしい微分方程式の基本

語句
語句を知っていると，たぶんこれからの説明がすんなり入ってくると思います．
微分方程式の解法：微分方程式の形によって毎回異なる解法をする！
ｎ階微分方程式の一般解は，ｎ個の任意定数を含む

ぶっちゃけ，今回の記事で一番言いたいことはこれです．

詳しく見ていきましょう

ある独立変数 $\displaystyle{x }$ に対する未知関数 $\displaystyle{ y = f(x) }$ が導関数 $\displaystyle{ \frac{dy}{dx} }$ を含む方程式を微分方程式と呼ぶ．

そして，微分方程式を満足し，独立変数 $\displaystyle{x }$ に対する未知関数 $\displaystyle{ y = f(x) }$ を，導関数 $\displaystyle{ \frac{dy}{dx} }$ を含まない関係式へ導くことを，微分方程式を解くという．

よくわかりませんね．

そこで，以下の例題から，説明していきます．

繰り返しになりますが，今回は用語の詳しい説明はせず紹介のみです！次回以降に詳しく説明します．ここでは，ぜひ，「微分方程式のイメージ」をつかんでみてください！

微分方程式の解法って？

では，見ていきましょう！

それと，普通の教科書の微分方程式の分類は，線形かどうかとか，斉次かどうかとか，何階かみたく分類してあると思います．しかし，ここでは，解ける形ごとに分けて分類しています．

変数分離形
定数変化法を行う変数分離形
同次形微分方程式
ベルヌーイの微分方程式
完全微分方程式
非線形の微分方程式（TypeA)
非線形の微分方程式（TypeB)
非線形の微分方程式（TypeC)
定数係数線形微分方程式
非斉次の定数係数線形微分方程式
オイラーの微分方程式

連立微分方程式とかもありますが，なんか少し違いうのでこの分類には入れませんでした．

微分方程式の種類

では，見ていきましょう！

変数分離形
定数変化法を行う変数分離形
同次形微分方程式
ベルヌーイの微分方程式
完全微分方程式
非線形の微分方程式（TypeA)
非線形の微分方程式（TypeB)
非線形の微分方程式（TypeC)
定数係数線形微分方程式
非斉次の定数係数線形微分方程式
オイラーの微分方程式

連立微分方程式とかもありますが，なんか少し違うのでこの分類には入れませんでした．

微分方程式の例１：力学（質点の落下）

地上から，初速度 $\displaystyle{v_0}$ で質点 $\displaystyle{m}$ を鉛直上向きに投げ上げるとする．地面から鉛直上向きを $\displaystyle{x}$ 軸としたとき，時間 $\displaystyle{t}$ に対する質点の変位 $\displaystyle{x}$ を求めよ．またこの時，重力加速度を $\displaystyle{g}$ ，地面を $\displaystyle{ x=0 }$ ，投げ上げた瞬間の時間を $\displaystyle{ t=0 }$ とする．

まず，この時初期条件は以下のようになります．

$\displaystyle{ t = 0 }$ の時， $\displaystyle{ v = v_0 }$ , $\displaystyle{ x = 0 }$

次に，質点に働く力は重力のみです．よって以下の図のようになります．

f:id:ReK2Science:20200926232127p:plain — 質点の落下

ここで，変位 $\displaystyle{x}$ と速度 $\displaystyle{v}$ と加速度 $\displaystyle{a}$ にはつぎのような関係があります．

$\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} }$

$\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }$

よって，運動方程式が次のようになります．

$\displaystyle{ m \frac{d^2x}{dt^2} = -mg }$

これが，いわゆる微分方程式です．次にこの微分方程式を解いていきます．

まずは，速度 $\displaystyle{v}$ を利用して

$\displaystyle{ m \frac{dv}{dt} = -mg }$

このように，微分方程式を書き直します．

ここで，両辺を独立変数 $\displaystyle{t}$ で積分します．このとき，不定積分なので，積分定数 $\displaystyle{A}$ が出てきます．

$\displaystyle{ \int m \frac{dv}{dt} dt　 \ = - \int mg dt　 \ + A }$

$\displaystyle{ v = -gt + A }$

よって，速度について解くことができました！さらに解法を続けます．まず，速度 $\displaystyle{v}$ を変位 $\displaystyle{x}$ で置き換えます．

$\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = -gt + A }$

同様に，両辺を独立変数 $\displaystyle{t}$ で積分します．この時，積分定数を $\displaystyle{B}$ とおきます．

$\displaystyle{ \int \frac{dx}{dt} dt　 \ = \int (-gt + A) dt　 \ + B }$

$\displaystyle{ x = -\frac{1}{2}gt^2 + At + B }$

よって，位置 $\displaystyle{x}$ について解くことができました！これが，一般解です．

そして，ここで，初期条件を用いて，積分定数 $\displaystyle{A}$ ， $\displaystyle{B}$ を定めていきましょう．

初期条件を用いて，求めた一般解に代入して解くと，

$\displaystyle{ A = v_0 }$

$\displaystyle{ B = 0 }$

このような結果になります．よって，これを一般解に代入すると，こうなります．

$\displaystyle{ x = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t }$

これは，特殊解と呼ばれます．

これで，問題が解けましたね！ちなみに，この解法は変数分離形と呼ばれます．

せっかくなので，速度 $\displaystyle{v}$ も求めてみましょう．

$\displaystyle{ v = -gt + v_0 }$

となります．ここで，時間 $\displaystyle{t}$ に対する速度 $\displaystyle{v}$ と変位 $\displaystyle{x}$ の変化をグラフに表してみます．

f:id:ReK2Science:20200926232804p:plain — 質点の落下における時間と変位の関係

f:id:ReK2Science:20200926233351p:plain — 質点の落下における時間と速度の関係

微分方程式を解き，一般解を求め，初期条件を利用して，特殊解を求めると，時間に対する質点の位置や速度が定まりましたね！

微分方程式の例２：力学（空気抵抗を受ける物体の落下）

地上から，初速度 $\displaystyle{v_0}$ で質点 $\displaystyle{m}$ を鉛直上向きに投げ上げるとする．また，物体は速度の２乗に比例して比例定数 $\displaystyle{c}$ の空気抵抗を受けるとする．地面から鉛直上向きを $\displaystyle{x}$ 軸としたとき，時間 $\displaystyle{t}$ に対する質点の速度 $\displaystyle{v}$ を求めよ．またこの時，重力加速度を $\displaystyle{g}$ ，地面を $\displaystyle{ x=0 }$ ，投げ上げた瞬間の時間を $\displaystyle{ t=0 }$ とする．