【応用数学】微分方程式の応用例：力学編【微分方程式①】

本日も、りけいのりからお届けします。

「微分方程式って何をしているのかよくわからない」

「微分方程式ってどんな場面で使うんだ？？」

という方が結構います．そこで，微分方程式の勉強をしようと，教科書の最初のページを開くと，

未知関数，独立関数，一階，二階，一般解，特殊解，線形，斉次，，，，，

など，たくさんの言葉が出てきてわかりにくいです．

そこで，ここでは，工学上応用されている，微分方程式をたくさん例示して，

「微分方程式のイメージがつかめた気がする！！」

「微分方程式ってこういう場面で使うんだ！！」

となることを目指していきます！

そのため，難しい言葉の説明，詳しい解き方などは次回以降に紹介します．

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微分方程式とは
微分方程式の例１：力学（質点の落下）
微分方程式の例２：力学（空気抵抗を受ける物体の落下）
おわりに
参考文献

微分方程式とは

ある独立変数 $\displaystyle{x }$ に対する未知関数 $\displaystyle{ y = f(x) }$ が導関数 $\displaystyle{ \frac{dy}{dx} }$ を含む方程式を微分方程式と呼ぶ．

そして，微分方程式を満足し，独立変数 $\displaystyle{x }$ に対する未知関数 $\displaystyle{ y = f(x) }$ を，導関数 $\displaystyle{ \frac{dy}{dx} }$ を含まない関係式へ導くことを，微分方程式を解くという．

よくわかりませんね．

そこで，以下の例題から，説明していきます．

繰り返しになりますが，今回は用語の詳しい説明はせず紹介のみです！次回以降に詳しく説明します．ここでは，ぜひ，「微分方程式のイメージ」をつかんでみてください！

微分方程式の例１：力学（質点の落下）

地上から，初速度 $\displaystyle{v_0}$ で質点 $\displaystyle{m}$ を鉛直上向きに投げ上げるとする．地面から鉛直上向きを $\displaystyle{x}$ 軸としたとき，時間 $\displaystyle{t}$ に対する質点の変位 $\displaystyle{x}$ を求めよ．またこの時，重力加速度を $\displaystyle{g}$ ，地面を $\displaystyle{ x=0 }$ ，投げ上げた瞬間の時間を $\displaystyle{ t=0 }$ とする．

まず，この時初期条件は以下のようになります．

$\displaystyle{ t = 0 }$ の時， $\displaystyle{ v = v_0 }$ , $\displaystyle{ x = 0 }$

次に，質点に働く力は重力のみです．よって以下の図のようになります．

f:id:ReK2Science:20200926232127p:plain — 質点の落下

ここで，変位 $\displaystyle{x}$ と速度 $\displaystyle{v}$ と加速度 $\displaystyle{a}$ にはつぎのような関係があります．

$\displaystyle{ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} }$

$\displaystyle{ v = \frac{dx}{dt} }$

よって，運動方程式が次のようになります．

$\displaystyle{ m \frac{d^2x}{dt^2} = -mg }$

これが，いわゆる微分方程式です．次にこの微分方程式を解いていきます．

まずは，速度 $\displaystyle{v}$ を利用して

$\displaystyle{ m \frac{dv}{dt} = -mg }$

このように，微分方程式を書き直します．

ここで，両辺を独立変数 $\displaystyle{t}$ で積分します．このとき，不定積分なので，積分定数 $\displaystyle{A}$ が出てきます．

$\displaystyle{ \int m \frac{dv}{dt} dt　 \ = - \int mg dt　 \ + A }$

$\displaystyle{ v = -gt + A }$

よって，速度について解くことができました！さらに解法を続けます．まず，速度 $\displaystyle{v}$ を変位 $\displaystyle{x}$ で置き換えます．

$\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = -gt + A }$

同様に，両辺を独立変数 $\displaystyle{t}$ で積分します．この時，積分定数を $\displaystyle{B}$ とおきます．

$\displaystyle{ \int \frac{dx}{dt} dt　 \ = \int (-gt + A) dt　 \ + B }$

$\displaystyle{ x = -\frac{1}{2}gt^2 + At + B }$

よって，位置 $\displaystyle{x}$ について解くことができました！これが，一般解です．

そして，ここで，初期条件を用いて，積分定数 $\displaystyle{A}$ ， $\displaystyle{B}$ を定めていきましょう．

初期条件を用いて，求めた一般解に代入して解くと，

$\displaystyle{ A = v_0 }$

$\displaystyle{ B = 0 }$

このような結果になります．よって，これを一般解に代入すると，こうなります．

$\displaystyle{ x = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t }$

これは，特殊解と呼ばれます．

これで，問題が解けましたね！ちなみに，この解法は変数分離形と呼ばれます．

せっかくなので，速度 $\displaystyle{v}$ も求めてみましょう．

$\displaystyle{ v = -gt + v_0 }$

となります．ここで，時間 $\displaystyle{t}$ に対する速度 $\displaystyle{v}$ と変位 $\displaystyle{x}$ の変化をグラフに表してみます．

f:id:ReK2Science:20200926232804p:plain — 質点の落下における時間と変位の関係

f:id:ReK2Science:20200926233351p:plain — 質点の落下における時間と速度の関係

微分方程式を解き，一般解を求め，初期条件を利用して，特殊解を求めると，時間に対する質点の位置や速度が定まりましたね！

微分方程式の例２：力学（空気抵抗を受ける物体の落下）

地上から，初速度 $\displaystyle{v_0}$ で質点 $\displaystyle{m}$ を鉛直上向きに投げ上げるとする．また，物体は速度の２乗に比例して比例定数 $\displaystyle{c}$ の空気抵抗を受けるとする．地面から鉛直上向きを $\displaystyle{x}$ 軸としたとき，時間 $\displaystyle{t}$ に対する質点の速度 $\displaystyle{v}$ を求めよ．またこの時，重力加速度を $\displaystyle{g}$ ，地面を $\displaystyle{ x=0 }$ ，投げ上げた瞬間の時間を $\displaystyle{ t=0 }$ とする．